30 juin 2008

 

Charles Bukowski

Dans la vie, ne gagnent que ceux qui s'entêtent et auxquels la chance sourit. D'autant que, plus vous tenez ferme sur vos positions, et plus la chance peut se montrer bonne fille. Mais la plupart des humains lèvent le pied et échouent.

Charles Bukowski

Libellés :


# abcmaths @ 07:52
 

Pour les terminales S : Exercice pour les vacances

Un exercice des années 60, niveau terminale S de l'époque .(math-élem.)
( il s'agit de la définition d'une fonction que vous allez reconnaître)

Définition d'une application de ]0\,,\,+\infty[ dans \mathbb{R}.

Partie I - Des racines ...

A tout x\,>\,0 on associe la suite (w_{n}) définie par w_{0}\,=\,x et \forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n+1}=\sqrt{w_{n}}

1. Etudier le cas x=1.
2. Soit (w_{n}) et (w_{n}^{'}) les suites ainsi associées à 2 réels x et x^{'} , et \large W_{n} celle associée au produit xx{'}. Montrer que \forall n\in\mathbb{N}\;\large W_{n}=w_{n}w_{n}^{'}.
3. Soit w_{n} et w_{n}^{'} les suites ainsi associées à x et \frac{1}{x}. Montrer que : \forall\,n\in\mathbb{N}\;w_{n}^{'}=\frac{1}{w_{n}}.
4. On suppose ici que x\,>\,1. Montrer que w_{n} est minorée par 1, décroissante, convergente vers 1.
5. Déduire du I.3 le comportement de w_{n} quand x\,<\,1.

En conclusion : \forall\,x\,>\,0\;\;w_{n} est convergente vers 1.

Partie II - Etude numérique d'une seconde suite

A tout x\,>\,0 on associe la suite (t_{n}) définie par \forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n}=2^{n}(w_{n}-1).

1. Quelle aide le cours sur "convergence et opérations" apporte-t-il à l'étude de la suite t_{n} ?
2. Démontrer que \forall\,n\in\mathbb{N}\;t_{n+1}=\frac{2t_{n}}{1+w_{n+1}} .
(On pourra utiliser une astuce de "quantité conjuguée").
3. Voici un algorithme :

A_{1} données N, W

T\longleftarrow 2^{N}(W-1);\\\text{noter}\,N\,,\,T\\N\longleftarrow N+1;\\W\longleftarrow\sqrt{W}

A_{2} données N, W, T

W\longleftarrow\sqrt{W};\\T\longleftarrow\frac{2T}{W+1};\\N\longleftarrow N+1;\\\text{noter}\,N\,,\,T

a. Expliquer en quoi A_{1} ou A_{2} peut permettre de construire un tableau de la suite (t_{n}). (Etudier ce qui se passe quand les données sont N=n) et W=w_{n} dans (A_{1}) , N=n , W=w_{n} et T=t_{n} dans (A_{2}).
b Seulement si ça vous intéresse : Essayez de trouver en quoi un des 2 algorithme est préférable à l'autre.
c. Conjecturer sur ce tableau des propriétés de (t_{n}).

Partie III - Où on lève l'indétermination

1. Montrer que (t_{n}) est décroissante.
2. On suppose ici que x>1. Montrer que (t_{n}) est convergente.
3. Soit (t_{n}) et (w_{n}) les suites associés à x ,(t_{n}^{'}) et (w_{n}^{'}) celles associées à \frac{1}{x}. Montrer que \forall n\in\mathbb{N}\;\;t_{n}^{'}=\frac{-t_{n}}{w_{n}}.
4. En déduire que pour x\,<\,1 , (t_{n}) est convergente.

Conclusion : Pour tout x\,>\,0 , la suite (t_{n}) est décroissante et convergente vers un réel qu'on notera l(x).
On définit alors une application :

l\,:\,\mathbb{R}_{+}^{*}\,\longleftarrow\,\mathbb{R}.

Partie IV - Propriétés de l'application l

1. Montrer que l(1)=0.
2. Soit (t_{n}) et (w_{n}) les suites associées à x ,(t_{n}^{'}) et (w_{n}^{'}) celles associées à y , W_{n} et T_{n} celles associées à xy. Montrer que T_{n}=(t_{n})(w_{n}^{'})+(t_{n}^{'})
3. En déduire que \forall x\,>\,0\; y\,>\,0\;\;l(xy)=l(x)+l(y).
4. Montrer que l est une application croissante sur \mathbb{R}_{+}^{*} (On pourra, pour x\,<\,x' , poser x'=xy avec y\,>\,1 et utiliser la question IV.2).

Partie V - Construction approchée de la courbe représentative de l

1. Montrer que pour tout x\,>\,0 et pour tout entier naturel n, on a l(x)\,\leq\,t_{n}.
2. En déduire que pour tout x\,>\,0 et pour tout entier naturel n , \frac{t_{n}}{w_{n}}\,\leq\,l(x)\,\leq\,t_{n}.
3. Avec pour tout n=10 et les outils numériques du II, quels encadrements obtient-on ainsi pour l(2)\,,\,l(3)\,,\,l(5)\,,\,l(7)\,,\,l(11) ?
4. Ebaucher sur une figure soignée l'allure de la courbe représentative de l dans un repère orthonormé.

Partie VI - Dérivabilité de l

1. Déduire de V.2 que pour tout x\,>\,0\;\;\frac{x-1}{x}\,\leq\, l(x)\,\leq\, x-1 puis que l est dérivable en 1 de nombre dérivée 1.
2. Soit x\,>\,0. Déduire de VI.2 et IV.2 que l est dérivable en x de nombre dérivée \frac{1}{x}.

Libellés :


# abcmaths @ 06:50

This page is powered by Blogger. Isn't yours?