15 octobre 2007
A propos des nombres réels .
Un nombre réel , c’est soit un entier, une fraction (nombre rationnel) ou un nombre irrationnel (qui ne peut s’écrire sous forme de fraction). Par exemple, la racine de 2 qui mesure la longueur de la diagonale d’un carré de coté 1 est un nombre irrationnel ; c’est aussi un nombre dit algébrique car il est solution d’une équation algébrique à coefficients rationnels :
Mais, la plupart des nombres réels sont en fait transcendant (comme pi ou e) : ils ne sont solution d’aucune équation algébrique à coefficients rationnels. Quand je dis la plupart cela signifie avec une probabilité voisine de 1 : si vous choisissez au hasard un nombre réel vous obtenez avec une probabilité voisine de 1 un nombre transcendant.
Les nombres réels sont non dénombrables donc vous ne pouvez donner un nom à chacun d’entre eux. Donc, les nombres que vous utilisez en pratique, que vous pouvez nommer, constituent une partie infinitésimale des nombres réels. Ces autres nombres réels dont l’existence a été prouvée à partir des axiomes utilisés par les mathématiciens sont pour la plupart transcendants. Mais, ils sont bien plus étranges encore.
Ils sont aussi non calculables avec une probabilité voisine de 1. Un nombre réel est non calculable s’il n’existe aucun algorithme qui peut générer toutes ses décimales.
Pire, ces nombres réels sont aléatoires avec une probabilité voisine de 1 : un nombre réel est aléatoire s’il n’existe aucun algorithme pour calculer ses N premières décimales et qui puisse s’exprimer de façon bien plus concise qu’en listant ces N décimales. Autrement dit : il n’y a pas de structure identifiable dans les décimales du nombre et qui permettrait de le décrire de façon plus concise.
Ainsi, les nombres réels sont des nombres qui , pour la plupart, ne peuvent être nommés, ne peuvent être calculés et sont aléatoires.
Extrait d' un article publié sur alpheccar' blog.
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