02 décembre 2007

 

Avant les calculatrices ? Les tables de logarithme et la règle à calcul; c'était il y a .... moins de quarante ans !




Le principe de la règle à calcul est dû à l'invention par Neper des logarithmes (cette fonction qui permet de passer d'un produit à une somme et inversement) et on retrouve ce même principe dans les anciens livres constitués de tables de logarithmes. Ces longues tables sont constituées de deux colonnes : la première contient un nombre, la deuxième son logarithme. Il suffit alors pour faire le produit de deux nombres de la première colonne, d'additionner les deux nombres correspondant de la deuxième colonne. Par exemple, si je veux faire 71×92. Je regarde en face de 71 son logarithme, on trouve 1,85126. En face de 92, on a 1,96379. On fait la somme 1,85126+1,96379 et on trouve 3,81505. Il ne reste plus qu'à trouver ce dernier nombre dans la deuxième colonne, pour obtenir le résultat du produit dans la première colonne : On trouve 6532.

La règle à calcul reprend ce principe à l'aide de ses graduations : celles-ci ne sont pas espacées régulièrement mais suivant une échelle logarithmique. Le déplacement de la réglette permettant de faire une addition , il suffit de lire les graduations pour obtenir le résultat de la multiplication.

Un peu d’histoire :

John Napier (1550-1617), plus connu sous son nom francisé Neper, est un théologien, physicien, astronome et mathématicien écossais.

Les mathématiques n’étaient pas son activité principale mais il ne manquait pas d’idées pour simplifier les calculs. Il établit quelques formules de trigonométrie sphérique, popularisa l’usage du point pour la notation anglo-saxonne des nombres décimaux mais surtout inventa les logarithmes.

Son objectif était de simplifier les calculs trigonométriques nécessaires en astronomie. Il s’attacha à définir le logarithme d’un sinus en s’appuyant sur des considérations mécaniques de points en mouvement et sur le lien entre les progressions arithmétique et géométrique.

Sa description du nouvel outil parue en 1614 dans Mirifici logarithmorum canonis descriptio fut lue par Henry Briggs qui le rencontra en 1615 et poursuivit son œuvre, prenant pour sa part l’option du logarithme décimal.

En 1617, Napier publie sa Rhabdologie, dans laquelle il présente un procédé mécanique pour simplifier les opérations de produit (multiplications et divisions) qui portera le nom de bâtons de Napier.

C'est d'abord en Allemagne que les logarithmes vont se développer . Au début de 1617, KEPLER, fortuitement à Vienne, a l'occasion de consulter le premier ouvrage de NEPER. Le parcourant rapidement, il commet une erreur d'interprétation. Il en fera part l'année suivante dans une lettre a un ami:

" Un baron écossais dont je n'ai pas retenu le nom, propose un brillant travail dans lequel il remplace la nécessité de la multiplication et de la division, par la simplicité de l'addition et de la soustraction, sans employer les sinus: en échange, il a besoin de la règle des tangentes: et la variété, la longueur, la lourdeur de l'addition et de la soustraction se substituent à la difficulté des multiplications et divisions"

Or KEPLER utilise évidemment la règle des sinus, que ce soit dans un triangle plan ou sphérique; pour lui, le travail de NEPER ne présente pas d'intéret.

Dans le courant de 1618, il a cependant en main l'ouvrage de Benjamin URSINUS: "Trigonometria Logarithmica John Neperi"; il reconnait alors son erreur et se montre enthousiaste de ce nouveau calcul . En 1619, enfin, le livre "Mirifici Logarithmorum descriptio " arrive à Linz, chez KEPLER, lequel entreprend assez rapidement d'en modifier le concept pour l'adapter à ses besoins. Son adhésion est telle qu'il dédie ses éphémerides de1620 (parues fin 1619) au "célèbre et noble seigneur JOHN NEPER, baron de MERCHISTON".

La diffusion sur le continent de cette nouvelle notion est surtout due aux tables publiées par le flamand Adrien ULACQ, en 1628, reprenant les tables de BRIGGS . Le but était de fournir un traité de calcul pratique, en particulier à l'usage des arpenteurs. Les premières tables furent suivies d'autres, de plus en plus précises, et mentionnant leur utilisation prioritaire pour les calculs trigonométriques.

La méthode de construction des tables passe d'abord, évidemment par la détermination des logarithmes des nombres premiers; les autres sont alors calculés par simple sommation.

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