08 décembre 2007
Proposition, assertion, implication,équivalence : Un peu de vocabulaire
Proposition, assertion, théorème, corollaire, lemme
Une assertion est une phrase mathématique qui peut être vraie ou fausse.
Une assertion P vraie est appelée proposition : on dit alors qu’ « on a P » ou que « P est vraie ».
Selon l’importance qu’on donne à la proposition, celle-ci pourra aussi porter le nom de : théorème, de corollaire (proposition qui découle d’une précédente proposition) , de lemme (proposition intermédiaire utilisée pour démontrer une autre proposition)
Exemples
(2 est un nombre positif) est une proposition
(2 est un nombre négatif) est une assertion fausse
( 5 ) n’est pas une assertion, ce n’est pas une phrase
Implication
Soient P et Q deux assertions
Pour exprimer que ( P ⇒ Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
P⇒ Q
P implique Q
P entraîne Q
si on a P, alors on a Q
Q est une condition nécessaire pour qu’on ait P
P est une condition suffisante pour qu’on ait Q
Pour montrer que ( P ⇒ Q) , on se place dans le cas où P est vraie, c’est à dire qu’on suppose qu’on a P ( on dit qu’on prend P comme hypothèse) et on en déduit Q
Equivalence
Soient P et Q deux assertions
( P ⇔ Q ) est vrai lorsque (P⇒ Q et Q⇒ P)
Pour exprimer que ( P ⇔ Q ) est vrai, on peut utiliser les expressions suivantes
P ⇔ Q
P équivaut à Q
on a P si et seulement si on a Q
P est une condition nécessaire et suffisante pour qu’on ait Q
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