22 décembre 2007

 

Quand mathématiques et physique divorcent : Le paradoxe de Banach-Tarski .

L'infini est inaccessible - on peut l'approcher mais jamais l'atteindre - absent de la réalité, insaisissable, abstrait.

Infini et limite:

L'infini renvoie à la notion de limite - limite hors d'atteinte et non frontière franchissable.

De la limite à l'extrême limite, la mesure comme arbitre:

L'extrême limite reste dans le domaine du tangible. C'est le dernier lieu accessible où la mesure s'impose comme arbitre.

La théorie mathématique de la mesure a donné lieu en 1924 au
paradoxe de Banach-Tarski.
Ce paradoxe, montre qu’il est possible de couper une boule de \mathbb R^3 en un nombre fini de morceaux et de réassembler ces morceaux pour former deux boules identiques à la première.
Il montre qu’il existe des morceaux non-mesurables, sans quoi on obtiendrait une contradiction
(la longueur, la surface ou le volume étant des exemples de mesures).
Il remet en cause notre notion intuitive de volume, puisque il n’y pas de
« création » de matière, donc il existe des parties de \mathbb R^3 pour lesquelles la notion de mesure(et donc de volume) n’a pas de sens.
La démonstration de ce paradoxe utilise l’axiome du choix, qui a été et est toujours contesté par certains mathématiciens. Par ailleurs, cet axiome est nécessaire pour construire des ensembles non mesurables.

C'est le grand divorce entre la physique dont les théories sont étayées par les résultats de mesure, et les mathématiques où la mesure même est objet de théorie.

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