29 janvier 2009

 

La roulette de Pascal (cycloïde)

La cycloïde droite, aussi appelée roue d'Aristote ou roulette de Pascal, est la trajectoire d'un point fixé à un cercle qui roule sans glisser sur une droite . C'est un cas particulier de roulette.


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La valve d'une roue de vélo avançant en ligne droite décrit une roulette (ou trochoïde), courbe décrite par un point lié à un cercle roulant sans glisser sur une droite et non pas une cycloïde car elle n'entre pas en contact avec la chaussée (directrice). Par contre, le chewing-gum collé sur le pneu décrira une cycloïde car il rentre en contact avec la chaussée à chaque tour de roue.
La cycloïde et le calcul de ses propriétés furent l'objet de défis constants entre mathématiciens, si bien qu'elle fut surnommée « l'Hélène des géomètres ».
Après Descartes, Pascal caché sous un pseudonyme-même les plus grands n'aiment pas sécher- offrit un prix à qui résoudrait deux problèmes liés à la cycloïde et au mouvement du pendule. En 1656-1659, Christian Huygens étudie ses propriétés isochrones et les applique à la conception d'une horloge marine - le pendule classique n'est pas fiable en mer à cause des grandes variations de l'amplitude de ses oscillations- ce qui le conduira à la détermination du « secret des longitudes»; merci à la cycloïde!
La cycloïde est aussi une courbe brachistochrone , c'est-à-dire qu'une cycloïde représente la courbe sur laquelle doit glisser sans frottement et sans vitesse initiale, un point matériel pesant placé dans un champ de pesanteur de sorte que son temps de parcours soit minimal parmi toutes les courbes joignant deux points fixés situés à des altitudes différentes. Autrement dit, c'est la courbe de descente la plus rapide pour aller d'un point A à un point B situé plus bas.
Les concepteurs de rampes de skate savent (peut-être ?) que la rampe la plus rapide a une forme de cycloïde .

A ski , sur une neige très glissante,vous arriverez plus tôt en B en empruntant la piste rouge en forme de cycloïde,même si cela monte un peu vers la fin.


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