02 avril 2009
Le théorème de Viviani généralisé
Datant du XVIIe siècle, le théorème de Viviani vient d’être généralisé aux polygones convexes.
Au XVIIe siècle, un élève de Galilée, Vincenzo Viviani, a démontré un très joli théorème de géométrie qui porte aujourd’hui son nom : un triangle équilatéral étant donné, la somme des distances d’un point M aux côtés du triangle est toujours la même, quelle que soit le point M à l’intérieur du triangle.
Plus précisément, cette somme commune est égale à la hauteur du triangle. Il existe diverses démonstrations élégantes de ce résultat élémentaire. Celui-ci n’est malheureusement pas vrai lorsque le triangle n’est plus équilatéral, mais Elias Abboud, de l’École de Beit Berl (Israël), a tout de même cherché à savoir ce qui se passe lorsqu’on considère des polygones plus généraux.
Son résultat principal est le suivant : un polygone convexe quelconque étant donné, il existe une direction du plan qui vérifie que, sur chaque segment orienté selon cette direction et inclus dans le polygone, le théorème de Viviani est satisfait (c’est-à-dire que la somme des distances aux côtés du polygone est la même pour tous les points du segment). Ce résultat est valable aussi dans l’espace, en remplaçant le polygone par un polyèdre et les segments parallèles par des plans parallèles. La démonstration repose sur un technique appelée programmation linéaire, qui permet d’évaluer le comportement de la fonction qui, à chaque point, fait correspondre la somme de ses distances aux côtés du polygone.
Benoît Rittaud
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