17 juin 2009

 

Chance mathématique .


Le mot chance vient de l’ancien français chéance (« façon de tomber »), chéance découlant du verbe choir. On est passé du général « façon de tomber » au particulier « façon qu’ont les dés de tomber » puis au sens, lié au jeu de dés, d’aléa, de hasard.

Aléa est un mot latin signifiant hasard

Hasard vient de de l'arabe الزهر az-zahr signifiant dé ou jeu de dés .

En résumé,les mots chance,aléa et hasard sont tous les trois liés au jeu de dés

Et,de fait,les paradoxes liés au jeu de dés sont à l'origine de la naissance de ce qui deviendra bien plus tard la théorie mathématique des probabilités (ébauchée par Cardan au seizième siècle, Pierre de Fermat et Blaise Pascal au dix-septième siècle.)

En voici deux :

1)Le paradoxe du chevalier de Méré:

Est-il avantageux, lorsqu'on joue au dé, de parier sur l'apparition d'un 6 en lançant 4 fois le dé? Est-il avantageux de parier sur l'apparition d'un double-six, quand on lance 24 fois deux dés? Le chevalier de Méré, qui était un grand joueur, avait remarqué que le premier jeu était avantageux. Et en effet, la probabilité d'apparition d'un 6 en lançant 4 fois un dé est :
1-(5/6)^4 soit environ 0,517 .
Le chevalier considérait que le deuxième pari était aussi avantageux :
en lançant un dé, il y a 6 issues; en lançant deux 2 dés, il y en a 36, soit 6 fois plus. Puisqu'il est avantageux de parier sur l'apparition d'un 6 en lançant le dé 4 fois de suite, il doit être avantageux de miser sur l'apparition d'un double-six en lançant un dé 24 = 4×6 fois de suite. Malheureusement pour le chevalier, les règles des probabilités sont plus complexes, et c'est Pascal qui calcula la vraie probabilité :
Elle est très légèrement inférieure à 1/2 : le deuxième jeu n'est pas avantageux!

2) Le paradoxe du prince de Toscane :

Le prince de Toscane avait remarqué que, bien qu'il y ait autant de façons d'écrire 9 et 10 comme somme de 3 nombres compris entre 1 et 6 , on obtient plus souvent un total de 10 lorsqu'on lance 3 dés. Cardan (l'inventeur du joint de transmission qui porte son nom), paraît-il,sécha sur le problème et c'est Galilée,encore lui,qui en donna l'explication : Il fallait tenir compte de l'ordre des décompositions de 9 et 10 en sommes de 3 nombres (c'est à dire distinguer par exemple 2 + 3 +4 de 3 +2 + 4) pour se placer dans une situation d'équiprobabilité .
Ainsi 9 se décompose de 25 façons et 10 de 27 façons et par conséquent on obtient un peu plus souvent 10 que 9 . ( p(9)=25/216 et p(10) = 27/216)
La différence est très faible mais le Grand Duc de Toscane était un joueur acharné !

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