16 novembre 2009
La méthode de Newton (ou de Leibniz ?)
Préambule machiste :
Quand la chauffarde dérive et le policier intègre .
" Madame, mon radar indique que vous rouliez à 100 kilomètres par heure ! "
La chauffarde:
" Voyons,voyons, monsieur le policier, ce n'est pas possible! Je suis partie il y a à peine 7 minutes ! "
Dans une lettre à Leibniz du 27 octobre 1676, Newton code par:
6a cc ae 13e ff 7i 31 9n 4o 4q rr 4s 9t 12v x
la phrase :
"Data aequation quotcuenque fuentes quantitates involvente fluxiones invenire et vice versa"
qu'on peut traduire par :
"Etant donnée une équation impliquant un nombre arbitraire de variables,trouver les dérivées (fluxions) et vice versa."
Il emploie le terme de “fluxion”
("quotient ultime de deux accroissements évanescents")
à la place du terme moderne “dérivée ” - voir note n°1 -
et “fluente” à la place du terme “variable” ou “fonction”.
Cette phrase est à l'origine du théorème fondamental de l'analyse qui déclare pour simplifier que les deux opérations de base de l'analyse, la dérivation et l'intégration, sont réciproques l'une de l'autre .
Les conséquences de ce théorème sont énormes : En particulier et entre autres,tous les problèmes de calcul de longueurs, d’aires, de volumes et de centres de gravité sont ramenés à des calculs de primitives.
(intuitivement, le théorème dit simplement que si vous connaissez tous les petits changements instantanés d'une certaine quantité, alors vous pouvez calculer le changement général de cette quantité - voir note n°2-)
Depuis ce théorème, il a coulé beaucoup d'eau sous les ponts mathématiques et une véritable neige d'intégrales (simple, double, triple, multiple, impropre, curviligne, de Stieltjes, de Riemann, de Lebesgue,...) est tombée
-voir note n°3-
Pour Leibniz (à qui on doit le symbole de l'intégrale en forme de S pour "somme") il fut apparemment plus facile d’inventer indépendemment le calcul infinitésimal que de résoudre cet anagramme mais c'est Newton qui est historiquement reconnu comme l'auteur du théorème fondamental de l'analyse.
(Newton prétendit que Leibniz l'avait copié et la querelle dura un siècle)
Ce que nous appelons maintenant méthode de Newton dans les programmes scolaires est un moyen de construire une suite d’approximations d’une racine r d’une équation algébrique :
L'algorithme consiste à linéariser une fonction f en un point (en remplaçant en première approximation la courbe par sa tangente)et de prendre le point d'annulation de cette linéarisation comme approximation du zéro recherché. On réitère cette procédure en l'approximation obtenue.
Graphiquement, cela revient à tracer la tangente à la courbe représentative de f et à chercher où elle coupe l'axe des x. On considère alors la suite récurrente définie par la valeur x0 proche de la racine et par la relation :
Si x0 est " assez proche " de r, alors la suite xn converge vers r .
Pour plus de détails ,voir note n°4
Source : Wikipédia,pour partie
Note n°1:
Note n°2:
Supposons que nous voyagions sur une ligne droite, et que nous partions à l'instant t = 0, et avec une vitesse variable. Si d(t) indique notre distance à l'origine et v(t) représente notre vitesse à l'instant t, alors v(t) est le taux d'accroissement " infinitésimal " de d et est la valeur de la dérivée de d en t. Supposez que nous n'ayons qu'un compteur de vitesse qui indique la vitesse v(t), et que nous voulions retrouver notre distance d(t). Le théorème fondamental de l'analyse dit que nous devons " primitiver " v afin d'obtenir d. Et ceci est exactement ce que nous aurions fait, même sans connaître ce théorème : enregistrer la vitesse à des intervalles réguliers, peut-être toutes les minutes, et alors multiplier la première vitesse par 1 minute pour obtenir une estimation de la distance parcourue dans la première minute, puis multiplier la deuxième vitesse par 1 minute pour obtenir la distance parcourue dans la deuxième minute etc., et enfin ajouter toutes les distances précédentes. Pour obtenir une même meilleure estimation de notre distance actuelle, nous avons besoin d'enregistrer les vitesses à des intervalles de temps plus courts. La limite quand la longueur des intervalles tend vers zéro est exactement la définition de l'intégrale de v.
Note n° 3 : cliquer ici
Note n°4 : cliquer ici
P.S.
Ci-dessous ,un échantillon des mathématiciens (il en manque un certain nombre et non des moindres,Euler,Bernouilli et l'Hôpital en particulier) qui ont contribué au développement du calcul intégral:
Bien qu'Euclide et Archimède soient cités parce qu'ils l'ont préfiguré ,les Grecs n'ont pas véritablement pensé le calcul intégral : Celui-ci naquit après la Renaissance avec les travaux de Newton et Leibniz.
Libellés : Histoire des mathématiques
