Le Blog d'ABC Maths

Rappelons très shématiquement et approximativement ce qu'énonce la conjecture de Poincaré :

Commençons par la dimension 1. Sur une feuille de papier, tracez une ligne raisonnablement sinueuse, sans qu’elle ne se recoupe, puis terminez-la en revenant au point de départ. Bien. Cette ligne fermée, imaginons que ce soit un élastique : il est facile de se convaincre qu’on peut la déformer sans la briser pour obtenir un cercle. Et bien voilà la conjecture de Poincaré en dimension 1 (1, c’est ce qu’on appelle la dimension d’une ligne, en mathématiques).

Passons en dimension 2. Là, il faut faire un petit effort d’imagination. Notre élastique devient alors une sorte de patate, dans l’espace, aussi déformée que vous le voulez, avec des bosses, des creux, mais sans trou. Ce qui nous intéresse, c’est la peau de cette patate, sa surface. Et bien on peut la déformer, cette surface, en imaginant qu’elle soit élastique, pour qu’elle devienne un beau ballon bien rond, c’est-à-dire une sphère. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 2 (qui est la dimension d’une surface, en mathématiques). La conjecture de Poincaré s’énonce en toute dimension: 3,4, etc. On a démontré qu’elle était vraie en dimensions 1,2, vous en êtes maintenant convaincus, mais aussi en dimensions 4,5, et toutes les dimensions supérieures.

Mais il manquait la dimension 3 depuis 1904 :C’est ce manque qu’a comblé Grégori Perelman.

Il faut imaginer qu’on a un volume (c’est-à-dire un objet de dimension 3), plongé dans l’espace à 4 dimensions. Qu'est-ce que l’espace à 4 dimensions, me direz-vous ? . On peut répondre que c’est l’espace-temps, mais on n’est pas tellement plus avancé... En tout cas, en maths, cela existe. On a des espaces de n’importe quelles dimensions. Donc imaginons un «volume», dans l’espace à 4 dimensions, qui soit raisonnablement bosselé, et surtout sans trou. Et bien on peut le déformer pour qu’il devienne une sphère de dimension 3.
Mais qu'est-ce qu'une sphère de dimension 3 ?

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# abcmaths @ 08:14