04 juin 2010

 

Vérification et démonstration .

Une démonstration est un processus dont le but est la construction d'une preuve.
Une
vérification consiste, lorsque c'est possible, à tester une propriété pour valider ou infirmer sa véracité .

Une vérification n'a pas valeur de démonstration.

Les élèves ont parfois tendance à joyeusement confondre les deux notions, mais cela peut se comprendre .
L'avocat du diable pourrait même prétendre que la confusion existe en filigrane dans le vocabulaire, preuve venant du latin probare (probar en espagnol ou probieren en allemand) qui signifie essayer, vérifier et qui a donné également le mot probable ainsi que le mot éprouvette, synonyme de tube à essais .

Et effectivement, il faut le reconnaître, maintenant que l’ordinateur permet d’effectuer un nombre phénoménal de calculs à une vitesse étourdissante , la frontière entre démonstration et vérification tend à devenir plus ténue, plus floue. Et cela risque de s'aggraver .

( C'est sans doute la raison pour laquelle on a quasiment bouté les Grecs et leur géométrie hors des programmes de mathématiques du lycée, pour les remplacer par des notions d'algorithmique ou d'informatique - plus "sexy", a t-on voulu nous faire croire - Mais après tout, une fois jetés aux orties le latin, les oeuvres classiques, la dissertation, les mots "compliqués", etc ..., la vieille géométrie était en sursis .)

En réalité, les liens entre démonstration et calculs informatiques datent déjà de quelques décennies .
Par exemple :
Le théorème des quatre couleurs dit, pour simplifier, qu’avec quatre couleurs, on peut toujours colorier les pays d'une carte géographique sans que deux pays voisins portent des couleurs identiques. Ce théorème, conjecturé en 1852 par Francis Guthrie, ne fut démontré qu'en juin 1976 par Kenneth Appel et Wolfgang Haken à l'aide d'un calcul par ordinateur. Mais pour autant, ce n’est pas l’ordinateur, bien sûr, qui a fait l’ensemble du travail : Les idées et la structure de la démonstration avaient étaient élaborées par des mathématiciens pendant plus d’un siècle. L'ordinateur, en 1976, ne s'est chargé que du travail de recherche et de vérification, travail qui aurait été trop long pour être effectué par un humain, mais qui n’est pas un raisonnement.
L'ordinateur, dans la démonstration du théorème des quatre couleurs, a été certes pratiquement irremplaçable, mais n’en est pas moins resté qu’un assistant .

Dans la vidéo ci-dessous, Gilles Dowek, chercheur, professeur d'informatique à l'Ecole Polytechnique (et aussi, paraît-il, un des inspirateurs de la dernière réforme des programmes de mathématiques), nous montre les liens entre la démonstration mathématique et l'usage des ordinateurs à l'aide d'un exemple simple, celui des équations diophantiennes.

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